Уточнение и обозначения (коротко). Рассмотрим правильную (прямую) призму с основаниями в плоскостях $z=0$ и $z=h$. Обозначим нижнее основание через $B$ (правильный $n$-угольник), верхнее через $B^{\prime }$ (стяжка точек $V_i$ и $V_i^{\prime }$, $i=1,\dots ,n$), соответствующие боковые рёбра — вертикали $V_i{V}_i^{\prime }$. Фиксируем одно боковое ребро/грань через вершину $V_1{V}_1^{\prime }$. Пусть плоскость $\pi$ проходит через это ребро (то есть через вертикальную прямую $V_1{V}_1^{\prime }$) и «крест-накрест» пересекает нижнее основание по прямой $l_0$ (след плоскости на $z=0$); на верхней базе след $\pi$ — прямая $l_1$. Замечание: $l_0$ и $l_1$ параллельны, т.к. это пересечение одной плоскости с параллельными плоскостями $z=0$ и $z=h$.
Обозначим точки пересечения $l_0$ с границей нижнего основания через $P,Q$ (включая случай, когда $P$ или $Q$ — вершины). Аналогично точки пересечения $l_1$ с границей верхнего основания — $P^{\prime },Q^{\prime }$. Тогда сечение призмы плоскостью $\pi$ — выпуклый многоугольник, вершинами которого (в общем невырожденном случае) являются четыре точки $V_1,V_1^{\prime },P,Q^{\prime }$ (или $V_1,V_1^{\prime },P,Q$ в зависимости от положения; запись ниже даёт все случаи).
Классификация типов сечений и критерии
1) Общий (обычный) случай — непараллельный случаям: трапеция.
- Доказательство: следы $l_0$ и $l_1$ параллельны, значит две стороны сечения, лежащие в плоскостях оснований (отрезки между точками пересечения с основаниями), параллельны. Следовательно четырехугольник (если встречается 4 вершины) имеет одну пару параллельных сторон — это трапеция. Формально: если сечение пересекает обе границы оснований в двух различных внутренних точках (не совпадающих с $V_1$ или $V_1^{\prime }$), то сечение — невырожденная трапеция с базами вдоль $l_0$ и $l_1$.
2) Параллелограмм — критерий.
- Условие: следы $l_0$ и $l_1$ пересекают границы оснований именно в вершинах соответствующих многоугольников, причём пары точек состоят из соответствующих вершин (то есть если $l_0$ проходит через две вершины $V_i,V_j$ нижнего основания, то $l_1$ проходит через соответствующие $V_i^{\prime },V_j^{\prime }$ на верхней грани).
- Доказательство: при этом вершины сечения — это две боковые вертикали $V_i{V}_i^{\prime }$ и $V_j{V}_j^{\prime }$ (две вертикали входят в плоскость $\pi$), и отрезки вдоль оснований $V_i{V}_j$ и $V_i^{\prime }{V}_j^{\prime }$ являются параллельными (следы плоскости на основаниях параллельны). Получаем, что обе пары противоположных сторон параллельны, т.е. четырёхугольник — параллелограмм. В частности, если $l_0$ проходит через одну вершину $V_1$ и ещё через другую вершину $V_k$, и $V_1{V}_1^{\prime }$ включено в $\pi$, то сечение — параллелограмм $V_1{V}_1^{\prime }{V}_k^{\prime }{V}_k$.
3) Треугольник — критерий.
- Условие: один из концов отрезка $PQ$ совпадает с точкой, где боковая вертикаль лежит в плоскости $\pi$ (например, $P=V_1$ или $Q=V_1$), и другой конец не даёт второй верхней/нижней вершины (то есть второй пересечённый отрезок с боку или основе падает на ту же вертикаль). Проще: если след плоскости на одном основании проходит через вершину $V_1$ (через ту же вертикаль) и на другом основании пересечение даёт одну точку, то сечение вырождается в треугольник.
- Доказательство: при совпадении одного из пересечений с $V_1$ одна из сторон четырёхугольника вырождается (две вершины совпадают), остаётся треугольник. Формально: если, скажем, $P=V_1$ и $l_1$ пересекает верхнее основание в точках $P^{\prime },Q^{\prime }$ так, что один из этих отрезков сводится к $V_1^{\prime }$, то множ. вершин сокращается до трёх.
4) Вырожденные и частные случаи (ромб, прямоугольник и т. п.).
- Ромб/квадрат/прямоугольник возникают при дополнительной симметрии: если основание правильное и прямая $l_0$ выбрана так, что отрезки $PQ$ и $P^{\prime }{Q}^{\prime }$ равны по длине и середины лежат на оси симметрии основания, то параллелограмм превращается в ромб или прямоугольник (дополнительные условия на углы и длины). Формула: параллелограмм будет прямоугольником тогда и только тогда, когда $l_0$ перпендикулярна некоторой паре противоположных сторон основания (с учётом положения), а ромбом — когда $PQ=P^{\prime }{Q}^{\prime }$ и боковые рёбра сечения равны по длине.
Короткая сводка (правило «одной строкой»).
- Следы плоскости на двух основаниях параллельны ⇒ любое невырожденное четырёхугольное сечение является трапецией.
- Если эти следы проходят через вершины обоих оснований в соответствующих парах ⇒ параллелограмм.
- Если один из следов проходит через уже включённую в плоскость боковую вертикаль ⇒ треугольник (вырождение).
- Дополнительная симметрия основания и выбор направления следа даёт частные случаи (ромб, прямоугольник и т.д.), по естественным метрическим условиям равенства/перпендикулярности отрезков $PQ$ и $P^{\prime }{Q}^{\prime }$.
Замечание по доказательству: все утверждения следуют из двух простых фактов: (i) прямая пересечения плоскости $\pi$ с плоскостями оснований даёт две параллельные прямые $l_0$ и $l_1$; (ii) боковые ребра — вертикали, поэтому пересечения $\pi$ с боковыми рёбрами либо целиком дают боковые отрезки секущегося многоугольника, либо совпадают с вершинами (вырождение). Эти две простые геометрические причины дают всю классификацию выше.