Задача (для урока/контрольной работы). Фиксированная окружность инверсии: центр $O$, радиус $r$.
1) Данa окружность $S$ с центром $C$, радиусом $R$ (и $OC=d$, $d\ne R$). Докажите, что образ $S^{\prime }$ при инверсии — опять окружность, найдите положение её центра и радиус и постройте $S^{\prime }$ (методом инверсии трёх точек). Покажите отдельно случай $d=R$.
2) Дана прямая $\ell$. Докажите, что
a) если $\ell$ проходит через $O$, то образ ${\ell }^{\prime }$ = $\ell$;
b) если $\ell$ не проходит через $O$ и расстояние от $O$ до $\ell$ равно $h$, то ${\ell }^{\prime }$ — окружность, проходящая через $O$; найдите центр и радиус ${\ell }^{\prime }$ и постройте его.
3) Проиллюстрируйте на конкретном числовом примере (выбрать $r$ и пару окружностей/прямых), постройте обратно и обсудите сохранение углов (конформность).
Ключевые формулы и результаты (используются в решении и обосновании):
- Определение инверсии: образ точки $P\ne O$ — точка $P^{\prime }$ на луче $OP$ такая, что
$$OP\cdot O{P}^{\prime }=r^2.$$ - Образ окружности с центром $C$ и радиусом $R$ (при $d=OC$, $d\ne R$) — окружность с центром на луче $OC$ на расстоянии
$$d^{\prime }=\frac{r^{2}d}{d^2-R^2},R^{\prime }=\frac{r^{2}R}{|d^2-R^2|}.$$ При $d=R$ исходная окружность проходит через $O$ и её образ — прямая.
- Образ прямой, не проходящей через $O$, если расстояние до $O$ равно $h$: образ — окружность с центром на перпендикуляре к прямой, в точке на расстоянии
$$d^{\prime }=\frac{r^2}{2h},R^{\prime }=\frac{r^2}{2h},$$ и такая окружность проходит через $O$. Прямая, проходящая через $O$, остаётся прямой.
Предварительная подготовка учащихся (требуемые навыки и понятия):
- Свойства окружностей, касание, центр, радиус, расстояние от точки до прямой.
- Подобие треугольников и использование подобия для построений; умение строить частные длины (частное/произведение через подобие).
- Конструктивные навыки: задание точки на луче, пересечение окружностей, построение окружности по трём точкам.
- Знакомство с понятием точки и линии в координатах (опционально) для явной проверки формул.
- Понимание понятия «образ» и проверка свойств (например, перестановка точек при инверсии).
Типичные ошибки учащихся и способы их предотвращения:
- Путаница направления луча: строят $P^{\prime }$ в противоположную сторону от $O$. Предотвращение: подчёркивать, что $P^{\prime }$ лежит на том же луче $OP$.
- Игнорирование случая $P=O$ (центр инверсии не имеет образа) и случая $d=R$ (окружность через $O$ даёт прямую). Предотвращение: в задании явно выделить эти случаи и проверить их отдельно.
- Неправильное использование формулы для $d^{\prime }$, $R^{\prime }$ (забывают знак в знаменателе или берут неверный модуль). Предотвращение: разобрать вывод формулы в классе через подобие/координаты и прогнать числовой пример.
- Ошибки в построении $P^{\prime }$ (неправильно строят длину $\frac{r^2}{OP}$). Предотвращение: показать конструкцию длины $\frac{r^2}{OP}$ через подобные треугольники (или использовать координатный/алгебраический подход для точных значений), предложить учащимся два метода (геометрический и координатный) и сверить результаты.
- Ожидание, что инверсия сохраняет длины или ориентацию (она сохраняет углы, но не расстояния и обращает ориентацию). Предотвращение: продемонстрировать контрпример (например, две равные отрезка, инвертированные в отрезки разных длина).
- Путаница между образом прямой и окружности: забывают, что прямая не через $O$ становится окружностью, проходящей через $O$. Предотвращение: дать много рисунков и специально проверить поведение пересечений с окружностью инверсии.
Рекомендации по организации занятия:
- Начать с определения и простых примеров (образ точки, пары точек), затем перейти к инверсии прямой и окружности.
- Обязательная практическая часть: построение образов трёх точек и восстановление окружности; один числовой пример с проверкой формулами в координатах.
- Домашнее задание: задания, которые целенаправленно проверяют граничные случаи (окружность через $O$, прямая через $O$, очень близкая окружность и т. п.).
Эта задача иллюстрирует основную идею: инверсия переводит круговые геометрические фигуры в такие же объекты (окружности или прямые), упрощая многие конфигурации и показывая конформность преобразования.