Запишем три плоскости в общем виде
$$a_{i}x+b_{i}y+c_{i}z=d_i,i=1,2,3,$$ и матрицу коэффициентов A=(a1b1c1a2b2c2a3b3c3)A=\begin{pmatrix}a_1&b_1&c_1\\a_2&b_2&c_2\\a_3&b_3&c_3\end{pmatrix}A= a1 a2 a3 b1 b2 b3 c1 c2 c3 . Обозначим также расширенную матрицу $[A|\mathbf{d}]$, где $\mathbf{d}=(d_1,d_2,d_3{)}^T$. Ключ — ранги $r=\mathrm{rank}(A)$ и $r_{\mathrm{aug}}=\mathrm{rank}([A|\mathbf{d}])$.
Условия и геометрический смысл
- Единственная общая точка (точечное пересечение): $r=3$ (эквивалентно $\det A\ne 0$). Система имеет единственное решение $\mathbf{x}=A^{-1}\mathbf{d}$ (или по Крамеру $x_i=\frac{\det A_i}{\det A}$).
- Прямая пересечения (неединственное, одномерное множество решений): $r=2$ и $r_{\mathrm{aug}}=2$. Геометрически две независимые плоскости дают прямую; третья плоскость является линейной комбинацией первых двух (проходит через эту прямую).
- Плоскость как множество решений (вырожденный случай): $r=1$ и $r_{\mathrm{aug}}=1$. Все три уравнения задают одну и ту же плоскость (или совпадающие/параллельные плоскости с совпадающим положением).
- Пустое пересечение (несовместность): $r<r_{\mathrm{aug}}$. То есть коэффициенты зависимы, а векторы правых частей не соответствуют — геометрически: плоскости не имеют общей точки (напр., две параллельные разные плоскости и третья их не пересекает в общей точке; или две пересекаются по прямой, а третья параллельна этой прямой и сдвинута).
- Частный случай нулевого ранга: если $r=0$ (все коэффициенты нулевые), то либо все уравнения тривиальны (вся ${\mathbb{R}}^3$, когда $\mathbf{d}=0$), либо несовместны (пусто).
Эквивалентные формулировки через нормали
- Нормали плоскостей ${\mathbf{n}}_i=(a_i,b_i,c_i)$.
- Линейная независимость $\{{\mathbf{n}}_1,{\mathbf{n}}_2,{\mathbf{n}}_3\}$ $\iff$ $r=3$ $\Rightarrow$ единственная общая точка.
- Если нормали лежат в одной плоскости (линейно зависимы, но не все коллинеарны) $\Rightarrow r=2$ $\Rightarrow$ либо общая прямая, либо несовместность, в зависимости от совместимости правых частей.
- Если все нормали коллинеарны $\Rightarrow r=1$ (плоскости попарно параллельны или совпадают).
Проверки на практике
- Сначала вычислить $\det A$. Если $\det A\ne 0$ — ответ: одна точка.
- Иначе сравнить ранги: привести к ступенчатому виду или проверить совместимость (подставить параметрическое уравнение прямой, полученной из двух уравнений, в третье).
- Для построения прямой пересечения двух плоскостей: решить две уравнения, выразить решение параметрически, подставить в третье.
Применения в стереометрии
- Нахождение точки пересечения трех плоскостей (вершина, центр вписанной сферы и т.п.) решается через систему уравнений плоскостей.
- Нахождение прямой пересечения двух граней многогранника; проверка, проходит ли данная грань через эту прямую (подстановка/проверка ранга).
- Определение, совпадают ли плоскости (напр., проверка, являются ли три грани параллельными или совпадающими).
- Вычисление двугранного угла между плоскостями через нормали: $\cos \theta =\frac{{\mathbf{n}}_1\cdot {\mathbf{n}}_2}{\Vert {\mathbf{n}}_1\Vert \Vert {\mathbf{n}}_2\Vert }$.
- Проверка копланарности четырёх точек через определитель (объём тетраэдра): точки $A,B,C,D$ копланарны $\iff$ $\det (AB,AC,AD)=0$.
- При решении задач на пересечение прямой и плоскости, расстояния и проекции часто сводятся к решению линейной системы из плоских уравнений.
Кратко: проверяйте ранг матрицы коэффициентов и расширенной матрицы; это даёт полную классификацию (единственная точка — $r=3$; прямая — $r=2=r_{\mathrm{aug}}$; плоскость — $r=1=r_{\mathrm{aug}}$; пусто — $r<r_{\mathrm{aug}}$), а геометрические выводы формулируются через лин. (не)зависимость нормалей и совместимость правых частей.