Нет нетривиальных треугольников. Доказательство короткое.
Пусть окружности $(AIB),(BIC),(CIA)$ имеют общую точку $P\ne I$. Тогда, поскольку $P\in (AIB)$ и $P\in (BIC)$, получаем
$$P\in (AIB)\cap (BIC).$$ Но каждая из окружностей $(AIB)$ и $(BIC)$ проходит через точки $I$ и $B$, а две разные окружности пересекаются не более чем в двух точках; значит
$$(AIB)\cap (BIC)=\{I,B\}.$$ Отсюда $P=B$. Аналогично, рассматривая пары $(BIC),(CIA)$ и $(CIA),(AIB)$, получаем $P=C$ и $P=A$. Это возможно только в вырожденном случае, когда вершины совпадают (т. е. треугольник вырожден). Для невырожденного треугольника противоречие.
Следовательно для любого невырожденного треугольника три указанные окружности не имеют общей точки, отличной от $I$. Вырожденные случаи (совпадение вершин или совпадение соответствующих окружностей) тривиальны.