Аналитическое решение.
Пусть точки $A_i=(x_i,y_i)$ ($i=1,2,3$), искомая $P=(x,y)$. Минимизируемую функцию можно записать
$$F(x,y)=\sum _{i=1}^3((x-x_i{)}^2+(y-y_i{)}^2).$$ Вычисляя частные производные и приравнивая к нулю, получаем
$$\frac{\partial F}{\partial x}=2\sum _{i=1}^3(x-x_i)=0\Rightarrow x=\frac{x_1+x_2+x_3}{3},$$ $$\frac{\partial F}{\partial y}=2\sum _{i=1}^3(y-y_i)=0\Rightarrow y=\frac{y_1+y_2+y_3}{3}.$$ Итого
$$P=(\frac{x_1+x_2+x_3}{3},\frac{y_1+y_2+y_3}{3})=:\bar{A},$$ то есть центроид (середина масс) треугольника.
Короткое алгебраическое равенство, поясняющее минимальность:
$$\sum _{i=1}^3\Vert P-A_i{\Vert }^2=3\Vert P-\bar{A}{\Vert }^2+\sum _{i=1}^3\Vert A_i-\bar{A}{\Vert }^2,$$ следовательно выражение минимально при $P=\bar{A}$.
Геометрическая интерпретация и связь с центром масс и МНК.
- Точка $P$ — центроид треугольника, она же центр масс трёх равных точечных масс. Это естественно: центр масс минимизирует суммарную вторую моменту (сумму квадратов расстояний).
- С точки зрения метода наименьших квадратов: задача разбивается по координатам — каждая координата $x$ и $y$ минимизирует сумму квадратов отклонений от соответствующих координат точек, решение каждой — арифметическое среднее. В матричной форме для общих $n$ точек это решение нормальных уравнений вида $np={\sum }_i{A}_i$.
- Противопоставление: если бы мы минимизировали сумму (не квадратов) расстояний $\sum \Vert P-A_i\Vert$, решение в общем случае не совпадает с центроидом (для трёх точек это даёт ферматову точку при углах <120° и т.п.).
Обобщение: для $n$ точек минимизирующей суммой квадратов является арифметическая средняя координат: $\bar{A}=(\frac{1}{n}\sum x_i,\frac{1}{n}\sum y_i)$.