Для доказательства подобия треугольников АОС и BOD нужно показать, что их углы равны и соответствующие стороны пропорциональны.

У нас есть следующая информация:
AO = 14 см (оружие треугольника АОС)
BO = 7 см (ружье треугольника АОС)
CO = 20 см (опора треугольника АОС)
OD = 10 см (оружие треугольника BOD)

Для начала рассмотрим угол AOS и угол BOD.
Углы, образованные пересекающимися прямыми AO и BO, равны друг другу по стороне:
∠AOB = ∠COB (вертикальные углы).
Таким образом, угол AOS и угол BOD равны между собой.

Кроме того, углы OAS и OBD будут равны между собой, так как это углы, образованные касательными к окружности с общей точкой касания O.

Теперь рассмотрим отношение сторон:
AO/OD = 14/10 = 1.4
CO/BO = 20/7 ≈ 2.86

Так как углы равны, а стороны пропорциональны, треугольники АОС и ВОД подобны.

Для нахождения отношения периметров данных треугольников нужно рассчитать сумму всех сторон:
Периметр треугольника АОС = AO + CO + AC
Периметр треугольника BOD = BO + OD + BD
AC = BD (по принципу равенства отрезков, проведенных в центры окружностей)
AC = 2 AO = 28 см
BD = 2 BO = 14 см

Итак, периметр треугольника АОС = 14 + 20 + 28 = 62 см
Периметр треугольника BOD = 7 + 10 + 14 = 31 см

Отношение периметров этих треугольников равно:
62 / 31 = 2

Ответ: отношение периметров треугольников АОС и BOD равно 2.