Для нахождения площади основания прямоугольного параллелепипеда воспользуемся теоремой Пифагора.
Пусть диагональ прямоугольника параллелепипеда равна d = 10√2, а стороны прямоугольника a и b.
Тогда по теореме Пифагора:
d^2 = a^2 + b^2
(10√2)^2 = a^2 + b^2
200 = a^2 + b^2 --- (1)

Также, из условия задачи известно, что диагональ одной из боковых граней равна 10 см, а другой - 12 см, то есть a^2 + h^2 = 10^2 и b^2 + h^2 = 12^2, где h - высота параллелепипеда.

Поскольку высота прямоугольника параллелепипеда h = b, заменим b на h в уравнении (1):
200 = a^2 + h^2 --- (2)

Из уравнений (2), a^2 + h^2 = 200 и a^2 + h^2 = 100, найдем a^2:
200 - 100 = a^2
a^2 = 100

Теперь найдем площадь основания прямоугольного параллелепипеда:
S = a b = 100 h = 100 * 10 = 1000 см^2

Ответ: Площадь основания прямоугольного параллелепипеда равна 1000 см^2.