Обозначим вершину угла 120° как A, а основания равнобедренного треугольника как B и C, причем BC = 2. Пусть O1 и O2 - центры вписанной и описанной окружностей соответственно. Так как треугольник равнобедренный, то O1 лежит на высоте, проведенной из вершины A, а O2 лежит на серединном перпендикуляре к основанию BC. Таким образом, треугольник AO1O2 - прямоугольный.
По условию, угол A равен 120°, поэтому угол O2AO1 равен 30°.
Тогда в треугольнике AO2O1 синус угла O2OA равен длине отрезка AO1, деленной на гипотенузу AO2O1, то есть радиус вписанной окружности, который обозначим как r.
Отсюда получаем, что sin 30° = r / r * sqrt(3) => 1/2 = 1 / sqrt(3) => r = sqrt(3) / 2.
Теперь для нахождения расстояния между центрами окружностей можно воспользоваться теоремой Пифагора для треугольника AO1O2:
AO2^2 = AO1^2 + O1O2^2,
r^2 + r^2 = (2r)^2,
2r^2 = 4r^2,
2 = 4,
что является противоречием, значит, ошибка где-то в рассуждениях.