Обозначим центры окружностей вписанных в треугольники ABC и ADC как O1 и O2 соответственно. Пусть точка касания окружности, вписанной в треугольник ABC, с стороной BC обозначается как E1, а точка касания окружности, вписанной в треугольник ADC, с стороной CD обозначается как E2.

Так как ABCD - прямоугольник, то углы A и C являются прямыми углами. Рассмотрим треугольники ABO1 и CDO2. В этих треугольниках у нас совпадают углы ABO1 и CDO2, так как они равны углам A и C соответственно. Также у нас совпадают углы в точках касания со сторонами BC и CD, так как треугольники ABC и ADC имеют вписанные окружности. Из этого следует, что углы ABO1 и CDO2 равны. А значит, треугольники ABO1 и CDO2 подобны.

Поэтому, условимся принять сторону AB за 3k, а сторону CD за 4k. Тогда BC=3k и AD=4k.

Так как E1 и E2 являются точками касания окружностей со сторонами треугольников, то OE1 и OE2 являются высотами этих треугольников. Тогда AO1 = BO1 = k и CO2 = DO2 = k.

Рассмотрим треугольник AEO1. Пусть H1 - проекция точки O1 на сторону AB. Тогда из прямоугольного треугольника AHO1 получаем, что AH1 = AO1 - HO1 = AO1 - r1, где r1 - радиус окружности, вписанной в треугольник ABC. Аналогично, в треугольнике CDO2, AH2 = AO2 - HO2 = AO2 - r2, где r2 - радиус окружности, вписанной в треугольник ADC.

Из подобия треугольников ABO1 и CDO2 получаем, что (AO1 / AH1) = (AO2 / AH2). То есть (k / k - r1) = (k / k - r2).
Отсюда получаем, что r1 = 3r/7 и r2 = 4r/7, где r - расстояние между центрами окружностей.

Таким образом, расстояние между центрами окружностей будет r = 7 r1 r2 / (7 r1 + 7 r2) = 12/7.

Обозначим длины диагоналей ромба как 3x и 5x. Пусть радиус вписанного в ромб круга равен r.

Площадь ромба равна S = (d1 * d2) / 2 = 15x^2 / 2, где d1 и d2 - диагонали ромба.

Площадь вписанного в ромб круга равна S' = πr^2.

Так как радиус окружности внутри ромба касается сторон ромба внутренне, то высота треугольника, образованного радиусом окружности и двумя сторонами ромба, равна r. Тогда площадь треугольника равна S'' = (d1 * r) / 2 = 15xr / 2.

Так как треугольник равносторонний, то его высоты, проведенные из вершины к центру окружности, будут равны радиусу r. Тогда площадь треугольника также равна S''' = (d2 * r) / 2 = 25xr / 2.

Так как площадь ромба равна сумме площадей четырех равносторонних треугольников, образованных диагоналями и радиусом вписанного круга, то S = 4S' + 2S'' + 2S''' = 4πr^2 + 30xr.

Отсюда следует, что отношение площади ромба к площади вписанного в него круга равно S / S' = (15x^2/2) / πr^2 = 15x^2 / 2πr^2 = 15x^2 / 8πx^2 = 15 / 8π.