Для начала найдем радиус описанной окружности правильного шестиугольника ABCDEF. Для этого воспользуемся формулой радиуса описанной окружности правильного шестиугольника:

r = R sin(30°) = (3 + √3) 0.5 = 1.5 + 0.5√3

Теперь обратимся к треугольнику ACD. Радиус вписанной окружности в треугольник равен произведению площади треугольника на полупериметр треугольника и делению на площадь треугольника:

r = S / p,
где S - площадь треугольника ACD
p - полупериметр треугольника ACD

Треугольник ACD вписан в правильный шестиугольник, значит его центры совпадают. Значит, угол ACD в правильном шестиугольнике равен 120°.
Площадь треугольника можно найти, разделив его на два равнобедренных треугольника AEF и ACD (фигура ACE одновременно лежит в двух треугольниках). Тогда площадь одного из этих треугольников равна:

S' = (1/2)(AC)r,
где r - радиус описанной окружности

Так как мы нашли радиус описанной окружности ранее, можем найти площадь одного из треугольников:

S' = (1/2)(3)(1.5 + 0.5√3) = 2.25 + 0.75√3

Учитывая, что треугольник ACD равносторонний, площадь треугольника ACD будет равна S = 2*S' = 4.5 + 1.5√3

Теперь найдем полупериметр треугольника ACD:

p = (AC + CD + AD) / 2 = (3 + 3 + 3) / 2 = 4.5

Теперь можем найти радиус вписанной окружности треугольника ACD:

r = S / p = (4.5 + 1.5√3) / 4.5 = 1 + √3 / 3

Итак, радиус вписанной окружности в треугольнике ACD равен 1 + √3 / 3.