Для начала найдем длину биссектрисы CL. У нас есть остроугольный треjsonольник ABC, а также радиус описанной около него окруjsonности R.

Известно, что биссектриса CL делит угол C на два равных угла, а также делит сторону AB (c) на отрезки AC и BC, пропорциональные другой стороне треугольника, то есть AC:BC = b:c, где b и c - стороны треугольника.

Также, известно, что радиус описанной около треугольника окружности R связан с сторонами треугольника следующим образом: R = (abc)/(4S), где S - площадь треугольника.

Площадь треугольника можно выразить через биссектрису CL: S = (bcsin(C)CL)/2, где sin(C) - синус угла C.

Теперь подставляем все найденные формулы и получаем уравнение:

R = 1/2 (bcsin(C)*CL)/(bc)

R = 1/2 sin(C) CL

CL = 2R/sin(C)

Так как у нас остроугольный треуjsonьник, то синус угла C максимален, когда угол C = 90 градусов. То есть sin(C) = 1.

Исходя из этого, максимальная длина биссектрисы CL будет равна 2R.