Обозначим центры вписанных окружностей треугольников ABC и ADC как I1 и I2 соответственно. Точка пересечения прямых AD и BC обозначается как E.

Так как угол ABC + угол ADC = 180 градусов (они дополнительные друг к другу), то треугольник ABC равнобедренный и AI1 является медианой треугольника ABC и перпендикуляром к стороне BC. Аналогично для треугольника ADC медиана AI2 является перпендикуляром к стороне BC.

Отсюда следует, что AI1 = угол ABC/2 = 90 градусов, а AI2 = угол ADC/2 = 90 градусов.

Рассмотрим треугольник ABI1. Так как угол в вершине A равен 90 градусов, то он прямоугольный. По теореме Пифагора:
AB^2 = AI1^2 + BI1^2
BI1 = √(AB^2 - AI1^2)
BI1 = √(3^2 - 1.5^2)
BI1 = √(9 - 2.25)
BI1 = √6

Аналогично для треугольника ADI2:
AD^2 = AI2^2 + DI2^2
DI2 = √(AD^2 - AI2^2)
DI2 = √(4^2 - 1.5^2)
DI2 = √(16 - 2.25)
DI2 = √13

Итак, с использованием теоремы Пифагора в треугольниках ABI1 и ADI2, расстояние между центрами вписанных окружностей I1 и I2 равно:
√(BI1^2 + DI2^2) = √(6 + 13) = √19

Таким образом, расстояние между центрами вписанных окружностей треугольников ABC и ADC равно √19.