Пусть радиус основания цилиндра равен r, а его высота - h.

Так как диагональ осевого сечения цилиндра равна 4√2, то по теореме Пифагора:

(2r)² + h² = (4√2)²
4r² + h² = 16*2
4r² + h² = 32

Дано, что угол между диагональю и плоскостью основания равен 45 градусов. Таким образом, у нас получается прямоугольный треугольник. Тогда можно записать соотношения:

tg 45 = h / (2r) = 1
h = 2r

Подставляем это значение в уравнение:

4r² + (2r)² = 32
4r² + 4r² = 32
8r² = 32
r² = 4
r = 2

Теперь находим боковую поверхность цилиндра:

Sбок = 2πrh = 23.142*2 = 25.12

Ответ: боковая поверхность цилиндра равна 25,12.