Чтобы найти радиус вписанной сферы в пирамиду ABCK, нам нужно найти площадь основания пирамиды и ее высоту.

Площадь основания треугольной пирамиды ABCS равна:
S_base = 0.5 AB CS = 0.5 12 10 = 60.

Высота треугольной пирамиды ABCS равна:
h = sqrt(CS^2 - KS^2) = sqrt(10^2 - (0.5CS)^2) = sqrt(100 - 25) = sqrt(75) = 5sqrt(3).

Теперь мы можем найти объем пирамиды ABCS:
V = (1/3) S_base h = (1/3) 60 5sqrt(3) = 100sqrt(3).

С другой стороны, объем пирамиды ABCS также равен V = (1/3) S r, где S - площадь боковой поверхности пирамиды, r - радиус вписанной сферы. Поскольку пирамида ABCS является правильной, ее боковая поверхность состоит из 4 равносторонних треугольников со стороной CK и высотой h.

S = 4 (1/2) CK h = 4 (1/2) 10 5sqrt(3) = 100sqrt(3).

Таким образом, мы получаем уравнение для радиуса вписанной сферы:
(1/3) 60 5sqrt(3) = (1/3) 100sqrt(3) r,
100sqrt(3) = 100sqrt(3) * r,
r = 1.

Радиус вписанной сферы в пирамиду ABCK равен 1.