Для того чтобы найти радиус вписанной сферы в пирамиду ABCK, мы можем воспользоваться формулой для радиуса вписанной сферы в правильную пирамиду:

r = V / (s * h)

где V - объем пирамиды, s - полупериметр основания пирамиды, h - высота пирамиды.

Для начала найдем высоту пирамиды. Рассмотрим треугольник ACS. Мы знаем, что AC = AB = 12 (так как основание правильной треугольной пирамиды является равносторонним треугольником) и CS = 10.

Используя теорему Пифагора, найдем высоту пирамиды ACS:

AC^2 = AS^2 + CS^2

12^2 = h^2 + 10^2

144 = h^2 + 100

h^2 = 44

h = 2√11

Теперь нам нужно найти полупериметр основания пирамиды. Так как основание - равносторонний треугольник, то полупериметр равен:

s = 3 * AB / 2 = 18

Теперь мы можем найти объем пирамиды:

V = (1/3) S h

V = (1/3) (1/2) AB * h

V = (1/3) (1/2) 12 * 2√11

V = 4√11

И, наконец, найдем радиус вписанной сферы:

r = 4√11 / (18 * 2√11)

r = 2 / 9

Ответ: радиус вписанной сферы в пирамиду ABCK равен 2 / 9.