Пусть A, B, C, D - вершины основания пирамиды, а O - центр сферы.

Так как пирамида правильная, то OA, OB, OC, OD - радиусы сферы. Также, так как сфера описана около пирамиды, то OA = OB = OC = OD = R.

Теперь находим расстояние от центра сферы O до вершины пирамиды:

Радиус описанной около пирамиды сферы равен OP, где P - вершина пирамиды. Поскольку пирамида правильная, то угол между лучами OP и OA равен 90 градусов. Также, OA = R, поэтому по теореме Пифагора:

OP^2 = OA^2 + AP^2
OP^2 = R^2 + R^2
OP^2 = 2R^2

OP = √(2R^2)
OP = R√2

Следовательно, радиус описанной около пирамиды сферы равен R√2.