Пусть гипотенуза треугольника равна c, катеты равны a и b, радиус описанной окружности равен R, а высота, опущенная на гипотенузу, равна h.

Так как радиус описанной окружности треугольника равен 3 см, а его радиус равен половине гипотенузы, то R = c/2.

Также мы знаем, что один из углов треугольника равен 60 градусов. Значит, у нас получается прямоугольный треугольник, в котором угол равен 60 градусов. Поэтому у нас есть равенство sin(60) = a/c = h/b.

Отсюда мы можем выразить высоту h и катет b следующим образом:

h = b * sin(60)

Также мы можем написать следующее:

с = 2R = 6

Теперь можем записать теорему Пифагора для нашего прямоугольного треугольника:

a^2 + b^2 = c^2

Теперь можем подставить c = 6 в теорему Пифагора и выразить a и b:

a^2 + b^2 = 36

a^2 + (h / sin(60))^2 = 36

a^2 + (b/sin(60))^2 = 36

a^2 + (b*sqrt(3)/2)^2 = 36

a^2 + (b^2 * 3 / 4) = 36

a^2 + 3b^2 / 4 = 36

4a^2 + 3b^2 = 144

a^2 = 144 - 3b^2/4

a^2 = 144 - 3b^2/4

b^2 = 144/3- a^2/3 = 48 - a^2/3

Substitute b^2 in h = (b sin 60)

b = √( 48 - a^2/3)

h = ( √( 48 - a^2/3 ) * √ 3 ) / 2

b = √( 48 - a^2/3) = as we found earlier

48 - a^2 / 3 = a * sin 60

This gives a = 8, Which gives b = 2√3

h = 2√3

Значит, высота треугольника, опущенная на гипотенузу, равна 2√3 см.