Обозначим четыре треугольника, образованные диагоналями четырёхугольника, как ABC и ADC, где AC - одна из диагоналей, и ABD и BCD, где BD - другая диагональ.

Пусть S1 - площадь треугольника ABC, S2 - площадь треугольника ADC, S3 - площадь треугольника ABD, S4 - площадь треугольника BCD.

Так как диагонали делятся в центре, то S1 + S2 = S3 + S4 (площади треугольников, имеющих общую вершину).

Также, из теоремы о площади треугольника через стороны AB и BC (S = 1/2 AB BC *sin(угол между ними)), мы можем выразить площади S1, S2, S3 и S4 через длины сторон четырёхугольника и синус угла между диагоналями. Для удобства будем обозначать длины диагоналей как d1 и d2, угол между ними как α, а стороны четырёхугольника как a, b, c и d.

Тогда:
S1 = 1/2 AC BD sin(α)
S2 = 1/2 AC BD sin(α)
S3 = 1/2 AC BD sin(α)
S4 = 1/2 AC BD sin(α)

Таким образом, S1S2 = S3S4 = 1/4 AC BD sin(α) AC BD sin(α) = 1/4 AC^2 BD^2 sin^2(α) = 1/4 (S+S1+S2)^2 = 1/4 (S+S3+S4)^2 = S3S4

Таким образом, мы доказали, что произведение площадей двух противоположных треугольников равно произведению площадей двух других треугольников.