Четырёхугольник ABCD со сторонами AB = 5 и CD = 17 вписан в окружность. Диагонали AC и BD пересекаются в точке K, причём Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.
Четырёхугольник ABCD со сторонами AB = 5 и CD = 17 вписан в окружность. Диагонали AC и BD пересекаются в точке K, причём Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.
Похожие вопросы
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки в течение 1 года
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Поможем написать учебную работу
Поскольку четырёхугольник ABCD вписан в окружность, то углы BAD и BCD являются смежными и их сумма равна 180 градусов. Также из угловой околоцентричности следует, что BD является диаметром описанной окружности.
Из теоремы косинусов для треугольника ABD:
BD2=AB2+AD2−2⋅AB⋅AD⋅cos(∠BAD)BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos(\angle BAD)BD2=AB2+AD2−2⋅AB⋅AD⋅cos(∠BAD)
Подставляем известные значения:
172=52+172−2⋅5⋅17⋅cos(∠BAD)17^2 = 5^2 + 17^2 - 2 \cdot 5 \cdot 17 \cdot \cos(\angle BAD)172=52+172−2⋅5⋅17⋅cos(∠BAD)
cos(∠BAD)=172+52−1722⋅5⋅17=2585=517\cos(\angle BAD) = \frac{17^2 + 5^2 - 17^2}{2 \cdot 5 \cdot 17} = \frac{25}{85} = \frac{5}{17}cos(∠BAD)=2⋅5⋅17172+52−172 =8525 =175
Таким образом, sin(∠BAD)=1−cos2(∠BAD)=1−25289=1217\sin(\angle BAD) = \sqrt{1 - \cos^2(\angle BAD)} = \sqrt{1 - \frac{25}{289}} = \frac{12}{17}sin(∠BAD)=1−cos2(∠BAD) =1−28925 =1712
Теперь, задействуем теорему синусов для треугольника ABD:
ADsin(∠ABD)=BDsin(∠BAD)\frac{AD}{\sin(\angle ABD)} = \frac{BD}{\sin(\angle BAD)}sin(∠ABD)AD =sin(∠BAD)BD
Из условия известно, что AD=12AD = 12AD=12 и sin(∠ABD)=32⋅513=5326\sin(\angle ABD) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{5}{13} = \frac{5\sqrt{3}}{26}sin(∠ABD)=23 ⋅135 =2653
Подставляем и находим BD=15BD = 15BD=15
Следовательно, радиус окружности, описанной вокруг четырёхугольника ABCD равен половине длины диаметра:
R=BD2=152=7.5R = \frac{BD}{2} = \frac{15}{2} = 7.5R=2BD =215 =7.5