Для нахождения площади трапеции воспользуемся формулой:
S = (a + b) * h / 2,
где a и b - основания трапеции, h - высота трапеции.

Из условия задачи известно, что меньшая боковая сторона трапеции равна 6 см, значит это высота трапеции (h = 6 см).

Также из задачи следует, что острый угол равен 60 градусов, а меньшая диагональ образует с основанием угол в 30 градусов. Тогда бОльшая основа трапеции равна:
b = a + 2 h tg(30 градусов) = a + 2 6 tg(30°) = a + 6√3.

Теперь посмотрим на треугольник, образованный бОльшей основой, бОльшей диагональю и одной из боковых сторон трапеции.
Так как угол между большей диагональю и бОльшей основой трапеции равен 60 градусов, а бОльшая основа равна a + 6√3, то получаем, что бОльшая диагональ трапеции равна:
D = 2 (a + 6√3) sin(60°) = 2 (a + 6√3) √3 / 2 = (a + 6√3) * √3.

Так как большая диагональ трапеции равна сумме меньшей диагонали и двойной высоты трапеции, то получаем:
(a + 6√3) √3 = D = 6√3 + 2 6 = 6√3 + 12,
a√3 + 18 = 6√3 + 12,
a√3 = -6,
a ≈ -3,464.

Таким образом, получаем, что большая основа равна a + 6√3 ≈ -3,464 + 6 * √3 ≈ 6,536 см.

Теперь можем найти площадь трапеции:
S = (a + b) h / 2 = (-3,464 + 6,536) 6 / 2 ≈ 18 * 6 / 2 = 54 кв. см.

Ответ: S = 54 кв. см.