Для нахождения площади параллелограмма воспользуемся формулой: S = b * h, где b - база параллелограмма, h - высота, опущенная на эту базу.

Посмотрим на треугольник HBD. Из условия известно, что угол HBD равен 45 градусов, а HD равно 5. Так как угол HBD прямой, то по теореме Пифагора в этом треугольнике можно найти значение стороны DB:

DB^2 = HB^2 - HD^2
DB^2 = HB^2 - 5^2
DB^2 = HB^2 - 25

Также, в параллелограмме AB = CD и AD = BC, следовательно, HB = HD + 6 = 5 + 6 = 11.

Теперь, подставим значение HB в уравнение и найдем DB:

DB^2 = 11^2 - 25
DB^2 = 121 - 25
DB^2 = 96
DB = √96
DB = 4√6

Теперь найдем площадь треугольника HBD:

S_HBD = 0.5 DB HD
S_HBD = 0.5 4√6 5
S_HBD = 10√6

Итак, площадь параллелограмма abcd равна площади треугольника HBD умноженной на 2, так как высота разбивает параллелограмм на два равных треугольника:

S = 2 S_HBD
S = 2 10√6
S = 20√6

Ответ: площадь параллелограмма abcd равна 20√6.