Чтобы найти меньшее основание трапеции, нужно разбить трапецию на два прямоугольных треугольника. Поделим трапецию на два прямоугольных треугольника, проведя линию от вершины трапеции, перпендикулярную основанию.

Пусть AB и CD - основания трапеции, а h - высота. Пусть DE - высота треугольника BDE, то есть радиус окружности. Тогда DE = r = 3 см.

Посмотрим на один из прямоугольных треугольников (например, BDE):

Так как DE - это радиус окружности, то BE и BD - это касательные к окружности, а значит, BE = BD.

Также мы знаем, что BDE - это прямоугольный треугольник, поэтому можем воспользоваться теоремой Пифагора: BD^2 = BE^2 + DE^2.

Подставляем известные значения: BD^2 = BE^2 + 3^2.

Теперь вернемся к всей трапеции ABCD. Мы знаем, что площадь трапеции равна 120 см^2: S = (AB + CD) / 2 * h.

Нам нужно найти h, чтобы затем найти BD, который является одной из сторон прямоугольного треугольника BDE. Разрешим уравнение относительно h:

120 = (AB + CD) / 2 * h.

AB + CD = 2 * 120 / h.

AB + CD = 240 / h.

AB = 240 / h - CD.

Теперь подставляем это значение в уравнение для длины BD:

BD^2 = (240 / h - CD)^2 + 9.

Осталось решить это уравнение и найти значение меньшего основания трапеции.