Для решения задачи воспользуемся формулой для высоты треугольника:
$$S=\frac{1}{2}\cdot a\cdot h,$$ где a - длина основания треугольника, h - высота, опущенная на это основание.

Так как мы знаем длину основания треугольника BC=6, площадь треугольника ABC можно найти, используя формулу Герона:
$$S=\sqrt{p\cdot (p-a)\cdot (p-b)\cdot (p-c)},$$ где p - полупериметр треугольника, a, b, c - стороны треугольника.

Вычислим полупериметр треугольника ABC:
$$p=\frac{AB+BC+AC}{2}=\frac{A{A}_1+B{B}_1+10}{2}=\frac{15+B{B}_1}{2}=\frac{15}{2}+\frac{B{B}_1}{2}.$$

Теперь можем найти площадь треугольника ABC:
$$S=\sqrt{\left(\frac{15}{2}+\frac{B{B}_1}{2}\right)\cdot \left(\frac{15}{2}-\frac{B{B}_1}{2}\right)\cdot \left(\frac{15}{2}-5\right)\cdot \left(\frac{15}{2}\right)}=\sqrt{\left(\frac{225-B{B}_1^2}{4}\right)\cdot \left(\frac{5}{2}\right)\cdot \left(\frac{5}{2}\right)\cdot \left(\frac{15}{2}\right)}=\frac{5}{4}\cdot \sqrt{225-B{B}_1^2}\cdot 15,$$ $$\frac{25}{4}\cdot \sqrt{225-B{B}_1^2}=45,\sqrt{225-B{B}_1^2}=36,225-B{B}_1^2=1296,$$ $$-B{B}_1^2=1071,B{B}_1^2=1071.$$

Отсюда получаем, что $B{B}_1=\sqrt{1071}\approx \mathrm{32.7.}$

Итак, BB1≈32.7.