Пусть вершины прямого угла треугольника обозначены как A и B, а вершина перпендикуляра - как C. Пусть AC = 9, BC = 13, а длина перпендикуляра - 5.

Так как перпендикуляр выпущен из вершины прямого угла, то он является высотой треугольника ABC. Таким образом, треугольник ABC - прямоугольный.

По теореме Пифагора, в прямоугольном треугольнике с гипотенузой c и катетами a и b выполняется следующее равенство:
c^2 = a^2 + b^b.

Применяя это равенство к треугольнику ABC, получим:
AB^2 = AC^2 + BC^2
AB^2 = 9^2 + 13^2
AB^2 = 81 + 169
AB^2 = 250

AB = √250
AB = 5√10

Таким образом, гипотенуза треугольника ABC равна 5√10.