Для равнобедренного треугольника известно, что высота опускается на биссектрису угла и делит основание пополам.

Пусть основание треугольника равно (a), а площадь равна (S). Площадь равнобедренного треугольника можно выразить как:

[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h ]

где (h) - высота треугольника. Так как высота делит треугольник на два прямоугольных треугольника, то можно составить уравнение:

[ h^2 + (\frac{a}{2})^2 = a^2 ]

[ h^2 + \frac{a^2}{4} = a^2 ]

[ h^2 = \frac{3a^2}{4} ]

[ h = \frac{\sqrt{3}a}{2} ]

Теперь можем найти периметр равнобедренного треугольника, зная основание и площадь:

[ P = 2a + 2\sqrt{ \left( \frac{a}{2} \right)^2 + \left( \frac{\sqrt{3}a}{2} \right)^2 } ]

[ P = 2a + 2\sqrt{ \frac{a^2}{4} + \frac{3a^2}{4} } ]

[ P = 2a + 2\sqrt{\frac{4a^2}{4}} ]

[ P = 2a + 2a ]

[ P = 4a ]

Таким образом, периметр равнобедренного треугольника равен удвоенному основанию треугольника.