а)
Из условия известно, что у треугольника АВС угол АСВ прямой, а стороны АВ и АС равны 5 и 4 соответственно. Из этого следует, что треугольник АВС - прямоугольный со сторонами 3,4,5. Также известно, что стороны треугольника А1С1Н равны 5, 3, 4, что также является соответствием прямоугольного треугольника с катетами 3 и 4 и гипотенузой 5. Таким образом, треугольники АВС и А1С1Н равны.

Чтобы доказать, что треугольники АВС и А1В1С1 подобны, рассмотрим следующее: углы у обоих треугольников при вершине В и В1 равны, так как они прямые, углы у обоих треугольников при вершине А и А1 равны, так как углы против оснований треугольников равны. Следовательно, треугольники АВС и А1В1С1 подобны.

б)
Так как треугольник АВС прямоугольный и стороны равны 3, 4 и 5, его площадь можно вычислить как S = 0.5 a b, где a и b - катеты прямоугольного треугольника.
S = 0.5 3 4 = 6

в)
Так как треугольники АВС и А1В1С1 подобны, можно составить пропорцию сторон:

AB / A1B1 = AC / A1C1 = BC / B1C1

5 / x = 4 / 5
5x = 20
x = 4

Следовательно, длины отрезков НВ1 и В1С1 равны 3 и 4 соответственно.