Доказательство:

Для доказательства того, что четырёхугольник ABCD является ромбом, необходимо показать, что все его стороны равны между собой.

Для этого найдем длины сторон четырёхугольника ABCD, используя координаты точек A, B, C, D.

Длина стороны AB:
AB = √((2-1)^2 + (5-1)^2) = √(1 + 16) = √17

Длина стороны BC:
BC = √((6-2)^2 + (6-5)^2) = √(16 + 1) = √17

Длина стороны CD:
CD = √((5-6)^2 + (2-6)^2) = √(1 + 16) = √17

Длина стороны AD:
AD = √((5-1)^2 + (2-1)^2) = √(16 + 1) = √17

Таким образом, все стороны четырёхугольника ABCD равны между собой, следовательно, он является ромбом.

Теперь найдем площадь ромба ABCD, используя координаты вершин:

Площадь ромба можно вычислить по формуле:
S = (d1 * d2) / 2,
где d1 и d2 - диагонали ромба.

Диагонали ромба ABCD: AC и BD.

Длина диагонали AC:
AC = √((6-1)^2 + (6-1)^2) = √(25 + 25) = √50 = 5√2

Длина диагонали BD:
BD = √((5-2)^2 + (2-5)^2) = √(9 + 9) = √18 = 3√2

Итак, площадь ромба ABCD:
S = (5√2 3√2) / 2 = (152) / 2 = 30 / 2 = 15.

Ответ: площадь ромба ABCD равна 15.