Поскольку точка O является серединой отрезков AB и CD, то AO=OB и CO=OD.

Рассмотрим треугольники AOC и DOB.
Учитывая, что AO=OB и CO=OD, получаем, что треугольники AOC и DOB равнобедренные (одна сторона равна по длине другой), значит у них равны углы ACО и DOB.

Теперь обратим внимание на треугольники AOD и COB.
Из равенства сторон (AO=OB и CO=OD) следует, что треугольники AOD и COB равны, значит у них равны углы AOD и COB.

Так как угол ACО равен углу DOB, а углы AOD и COB равны, то угол CAD равен углу CBD.
Доказано.