НУ КТО УМНЫЙ? Высоты остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке O. Окружность радиуса R с центром в точке O проходит через вершину A, касается стороны BC и пересекает сторону AC в точке M такой, что AM : MC = 4 : 1. Найдите длину стороны AB.
НУ КТО УМНЫЙ? Высоты остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке O. Окружность радиуса R с центром в точке O проходит через вершину A, касается стороны BC и пересекает сторону AC в точке M такой, что AM : MC = 4 : 1. Найдите длину стороны AB.
Похожие вопросы
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки в течение 1 года
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Поможем написать учебную работу
Пусть точка O - точка пересечения высот треугольника ABC, точка M - точка пересечения окружности с стороной AC, а точка N - точка касания окружности со стороной BC.
Так как AM : MC = 4 : 1, то разделим сторону AC на 5 частей, таким образом AM = 4x, а MC = x.
Также заметим, что треугольники ANO и ABC подобны по двум углам, так как углы при вершине A равны, и угол NOA прямой, так как O - центр окружности.
Из подобия треугольников получаем, что AN : AB = NO : BC.
Так как NO = R, то AN : AB = R : BC
Также заметим, что треугольник BNC также подобен треугольнику ABC по двум углам. Так как BN - высота треугольника BNC, то BN и NC являются частями стороны BC, равными x. Таким образом BC = 2x.
Из подобия треугольников BNC и ABC получаем, что NC : AB = BN : BC
Из данного равенства NC = 4x.
Теперь можем записать, что NC = BC - BN, т.е. 4x = 2x - R, откуда x = R.
Таким образом, AB = 2x + x = 3x = 3R.
Итак, длина стороны AB равна 3R.