Пусть длина оснований трапеции равна a и b, где b > a.
Пусть O - точка пересечения диагоналей, и пусть CD - диагональ трапеции, которая делит трапецию на два треугольника.
Так как один из треугольников равносторонний, то у него все стороны равны a.
Пусть точка M - точка пересечения диагонали CD с боковой стороной трапеции. Тогда треугольник AOM - прямоугольный. Найдем длину средней линии трапеции через стороны треугольника AOM.

Так как треугольник AOM прямоугольный, то средняя линия равна среднему геометрическому отрезков AO и MO.

Так как у нас есть два равных треугольника AOM и COD, то MO = OC/2, где OC - высота трапеции, проходящая через точку O.

Найдем длину высоты OC:
1) найдем высоту OA треугольника AOM.
AO = √(a^2 - (a/2)^2) = √(3a^2/4) = (a√3)/2.
2) Так как треугольник AOM равнобедренный, то OC - это высота, проведенная из вершины O треугольника COD на основание AD.

Поскольку треугольник AOM прямоугольный, то OC = OA = (a√3)/2.

Теперь находим длину средней линии трапеции:

OM = OC/2 = ((a√3)/2)/2 = (a√3)/4.
AM = (a/2).
Теперь найдем среднюю линию трапеции через отрезки OM и AM:

LM = √(OM^2 + AM^2) = √(((a√3)/4)^2 + (a/2)^2) = √(3a^2/16 + 4a^2/16) = √(7a^2/16) = (a√7)/4.

Средняя линия трапеции равна (a√7)/4.