Теорема: Площадь треугольника пропорциональна синусу угла, противолежащего наибольшей стороне.

Формулировка: Пусть у нас есть два треугольника ABC и DEF с углами A, B, C и D, E, F, соответственно, где A + B + C = 180 и D + E + F = 180. Пусть стороны треугольника ABC имеют длины a, b и c, а стороны треугольника DEF имеют длины d, e и f. Тогда отношение площадей этих треугольников равно отношению синусов углов: ( \frac{S{ABC}}{S{DEF}} = \frac{absin(C)}{desin(F)} ).

Доказательство: Для начала, обозначим высоты треугольников наиболее длинных сторон как h1 и h2 для треугольников ABC и DEF, соответственно. Тогда площади треугольников можно выразить как ( S{ABC} = \frac{1}{2} a h1 ) и ( S{DEF} = \frac{1}{2} d h2 ).

Также, с помощью теоремы синусов, мы можем выразить отношение длин высот: ( \frac{h1}{sin(C)} = c ) и ( \frac{h2}{sin(F)} = f ).

Подставив эти выражения в формулу для площадей, получим: ( \frac{S{ABC}}{S{DEF}} = \frac{\frac{1}{2} a h1}{\frac{1}{2} d h2} = \frac{a c sin(C)}{d f sin(F)} ).

Таким образом, мы доказали теорему об отношении площадей треугольников с углами, составляющими в сумме 180.