а) Поскольку MN параллелен СD и NK параллелен АA1, то угол между плоскостью MNK и плоскостью А1В1С1 равен углу между СD и АA1. Так как MNK – это плоскость, параллельная этим сторонам и проходящая через середину ребра AB, то она перпендикулярна плоскости ABCD с углом в 90 градусов. Угол между СD и АA1 равен углу гипотенузы прямоугольного треугольника со сторонами 1 и 3, который можно найти как arctan(3/1) = arctan(3).

Ответ: а) Угол между плоскостями MNK и А1В1С1 равен arctan(3) радиан.

б) Расстояние между плоскостями MNK и А1В1С1 равно расстоянию между точками М и K. Поскольку М – середина ребра AD, то МК = 1/2. Теперь, найдем угол между прямыми MN и С1L. Поскольку L – середина ребра DC, то LC1 = 1/2. Угол между прямыми MN и С1L равен углу между векторами MN и С1L. Так как эти векторы перпендикулярны плоскости MNK, то их угол равен углу между проведениями этих векторов на эту плоскость. Таким образом, угол равен arccos((MN, С1L) / (|MN| |С1L|)), где (MN, С1L) – скалярное произведение векторов MN и С1L. Поскольку вектор MN параллелен ребру DA, а вектор С1L параллелен ребру DC, то скалярное произведение равно произведению длин этих векторов, умноженному на косинус угла между ними. Таким образом, угол между прямыми MN и С1L равен arccos(1/2 1/2 / (1/2 sqrt(5)/2)) = arccos(1/2 sqrt(5)/2) = arccos(sqrt(5)/4).

Ответ: б) Расстояние между плоскостями MNK и А1В1С1 равно 1/2 единицы длины; угол между прямыми MN и С1L равен arccos(sqrt(5)/4) радиан.