Пусть у нас есть два подобных треугольника ABC и A'B'C' соответственно, где соотношение их сторон равно k.

Тогда соответствующие стороны этих треугольников будут иметь следующие соотношения:
AB = k A'B'
BC = k B'C'
AC = k * A'C'

Для удобства докажем теорему для прямоугольных треугольников.

Пусть треугольники ABC и A'B'C' являются прямоугольными, и пусть катеты треугольника ABC равны a и b, а катеты треугольника A'B'C' равны ka и kb соответственно.

Тогда площади этих треугольников будут равны:
S(ABC) = 0.5 a b
S(A'B'C') = 0.5 ka kb = 0.5 k^2 a * b

Теперь мы можем выразить отношение площадей этих треугольников:
S(ABC) / S(A'B'C') = (0.5 a b) / (0.5 k^2 a * b) = 1 / k^2

Таким образом, мы доказали, что отношение площадей подобных треугольников равно квадрату отношения их сторон.