Для начала найдем третий угол треугольника c:

c = 180 - a - b
c = 180 - 40 - 20
c = 120 градусов

Из условия ab - bc = 4, получаем:

аб = бс + 4

Так как биссектриса разбивает треугольник на два подобных друг другу треугольника, найдем отношение, равное

$\frac{AB}{BC}=\frac{AC}{CB}$

Подставим длины сторон в найденные отношения:

$\frac{AB}{BC}=\frac{AC}{CB}$

$\frac{AC+4}{BC}=\frac{AC}{CB}$

$AC=2\cdot BC$

Так как с = 120 градусов, равенство $AC=2\cdot BC$ превращается в равенство

$\frac{AB}{sin(20)}=\frac{BC}{sin(40)}=\frac{AC}{sin(120)},$

из которого можно выразить сторону АС и это соотношение также даст нам длину биссектрисы.

Для удобства заметим, что $120^o=60^o$, тогда:

$\frac{AC+4}{AC}=sin(40)$

$AC+4=AC\cdot sin(40)$

$4=AC(\sin (40)-1)$

$AC=\frac{4}{\sin (40)-1}$

Теперь найдем длину биссектрисы. Для этого воспользуемся теоремой косинусов для треугольника ABC:

$A{B}^2=A{C}^2+B{C}^2-2\cdot AC\cdot BC\cdot \cos (40)$

$$A{B}^2={\left(\frac{4}{\sin (40)-1}\right)}^2+B{C}^2-2\cdot \frac{4}{\sin (40)-1}\cdot BC\cdot \cos (40)$$

Так как у нас $AC=2\cdot BC$, подставляем $AC=2\cdot BC$ в уравнение и решаем его.

$$AB=\sqrt{{\left(\frac{4}{\sin (40)-1}\right)}^2+{\left(\frac{4}{\sin (40)-1}\right)}^2-2\cdot \frac{4}{\sin (40)-1}\cdot \frac{2}{\sin (40)-1}\cdot \cos (40)}$$

$$AB=\sqrt{{\left(\frac{4}{\sin (40)-1}\right)}^2+{\left(\frac{4}{\sin (40)-1}\right)}^2-8\cdot \frac{1}{\sin (40)-1\cdot \cos (40)}}$$

$$AB=\sqrt{16{\left(\frac{1}{\sin (40)-1}\right)}^2-8\cdot \frac{1}{\sin (40)-1\cdot \cos (40)}}$$

Вычисляем корень и получаем длину биссектрисы угла C.