Пусть дан угол с вершиной в точке О, а также точка М, равноудалённая от сторон угла.

Представим, что точка М не лежит на биссектрисе угла. Тогда она также не равноудалена от обеих сторон угла. Проведём через точку М прямые, параллельные сторонам угла, пересекающие эти стороны в точках А и В (см. рисунок).

Так как точка М равноудалена от сторон угла, то МА = МВ. Также можно заметить, что треугольники ОМА и ОМВ равны по двум сторонам и углу между ними (ОМ обща, ОА = ОВ, МА = МВ).

Следовательно, треугольники ОМА и ОМВ равны, что противоречит условию. Значит, предположение о том, что точка М не лежит на биссектрисе угла, неверно. Таким образом, точка М лежит на биссектрисе угла.

Из этого следует, что если точка равноудалена от сторон угла, то она лежит на биссектрисе этого угла.