Так как треугольник ABC - равнобедренный, то точка О - середина высоты BD также является серединой отрезка BD. Значит, BO = OD = 6 см.

Поскольку отрезок MN параллелен отрезку BC, то он делит треугольник ABD на два равных треугольника. То есть, OM = MN = ND.

Таким образом, длина отрезка MN равна длине отрезка ND, который является половиной стороны треугольника ABD.

Используя теорему Пифагора для треугольника ABD, найдем длину стороны AD:
AD^2 = AB^2 - BD^2
AD^2 = 12^2 - 6^2
AD^2 = 144 - 36
AD^2 = 108
AD = √108 = 6√3 см

Так как ND равен половине стороны AD, то:
MN = NC = 6√3 / 2 = 3√3 см

Итак, длина отрезка MN равна 3√3 см.