Для начала найдем угол АСВ. Используем теорему косинусов в треугольнике АВС:

cos(∠ACB) = (AC^2 + BC^2 - AB^2) / (2 AC BC)
cos(∠ACB) = (6^2 + 4^2 - 3^2) / (2 6 4)
cos(∠ACB) = (36 + 16 - 9) / 48
cos(∠ACB) = 43 / 48
∠ACB = arccos(43 / 48) ≈ 27.16°

Так как точка М лежит на биссектрисе угла ACB, то угол СМА равен углу СМВ, то есть 27.16°.

Теперь найдем угол ВАС:

∠VAS = 180° - ∠ACB = 180° - 27.16° = 152.84°

Поскольку прямая, проходящая через точку М, перпендикулярна к биссектрисе угла ВАС, то угол МКА равен 76.42° (половина угла ВАС). Но мы не будем использовать это значение для дальнейших вычислений.

Так как прямая, проходящая через точку К, перпендикулярна к биссектрисе угла ВАС, то угол КМС равен 76.42°. Это означает, что треугольник КМС является равнобедренным (КМ = КС).

Теперь рассмотрим треугольник КАС. Угол КАС равен углу МСК, который равен 76.42°, так как угол КМС равен углу КМС. Следовательно, угол КАС равен 76.42°.

Так как угол КАС - это угол АКС, то треугольник АКС равнобедренный. Следовательно, АК = АС = 6 см.

Поскольку прямая, проходящая через точку К, перпендикулярна к биссектрисе угла ВАС, то угол VKA равен 76.42°.

Теперь найдем угол VKD. Угол VKD равен 76.42°, так как прямая, проходящая через точку К, перпендикулярна к биссектрисе угла ВАС.

Теперь рассмотрим треугольник ВКD. Он является равнобедренным, так как угол VKD = 76.42° и угол VKA = 76.42° (биссектриса). Следовательно, ВК = KD.

Итак, отрезок BD равен ВК + KD = 6 + 6 = 12 см.