Для того чтобы доказать, что четырехугольник ABCD является квадратом, необходимо доказать, что все его стороны равны между собой и что углы при его вершинах прямые.

Длины сторон:
AB = √[(Bx - Ax)² + (By - Ay)²] = √[(-8 + 2)² + (-2 - 6)²] = √[6² + 8²] = 10
BC = √[(Cx - Bx)² + (Cy - By)²] = √[(0 + 8)² + (8 + 2)²] = √[8² + 6²] = 10
CD = √[(Dx - Cx)² + (Dy - Cy)²] = √[(6 - 0)² + (0 - 8)²] = √[6² + 8²] = 10
DA = √[(Ax - Dx)² + (Ay - Dy)²] = √[(2 - 6)² + (6 - 0)²] = √[4² + 6²] = 10

Углы:
AB и CD: Противолежащие углы равны, так как противоположные стороны параллельны.
BC и DA: Противолежащие углы равны, так как противоположные стороны параллельны.

Таким образом, мы доказали, что стороны четырехугольника ABCD равны между собой и углы при его вершинах прямые, что говорит о том, что четырехугольник ABCD является квадратом.