Для начала найдем высоту трпеции. Так как у трапеции AD перпендикулярно BC, а AB параллельно CD, то у треугольника ABC прямой угол при C. Таким образом, треугольник ABC — прямоугольный.
Высота треугольника ABC, проведенная из вершины С, делит треугольник на два подобных. Пусть h — высота трапеции. Тогда (AB / CD) = (h / BC) => h = (AB BC) / CD. Поскольку AB = 5, то BC = AD — CD = 12 - CD. Таким образом, h = 5(12 - CD) / CD = 60 / CD - 5.
С другой стороны, h = BC tg (∠DCB) = AB * tg(45) = 5.
Из уравнения 60 / CD - 5 = 5 следует, что CD = 4см. Тогда BC = 8см.
Теперь мы можем найти длину вектора BD при помощи теоремы Пифагора в прямоугольном треугольнике BDC:
BD = √(BC^2 - CD^2) = √(8^2 - 4^2) = √(64 - 16) = √48 = 4√3 см.

Теперь найдем длины векторов CD и AC.
Вектор CD равен 4см.
АС^2 = AB^2 + BC^2 = 5^2 + 8^2 = 25 + 64 = 89, следовательно
AC = √89 см.