Для начала найдем длину медианы AM, проходящей через вершину С. Поскольку медиана делит сторону AB в отношении 2:1, то AM = 2.

Так как прямая, параллельная стороне AB, пересекает продолжение медианы AM в точке К, то треугольник AKB подобен треугольнику AMC по критерию угловой подобности (AKB и AMC — вертикальные углы). Тогда отношение сторон этих треугольников равно отношению подобных сторон.

Из подобия треугольников получаем, что AK = 2/3 AC = 2/3, KB = 2/3 AM = 4/3.

Теперь найдем сторону BC. Для этого используем теорему косинусов:
BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2ABACcos(<C).
Поскольку треугольник АВС равносторонний, угол <C = 60 градусов. Подставим известные значения и выразим BC:
BC^2 = 4 + 1 - 8cos60 = 5 - 8*0.5 = 5 - 4 = 1, следовательно BC = 1.

Теперь можем найти периметр треугольника:
P = AB + BC + AC = 4 + 1 + 1 = 6.

Итак, периметр треугольника АВС равен 6.