Для начала найдем длины сторон четырехугольника ABCD.

AB = √((-1 - (-5))^2 + (-1 - (-4))^2) = √(4^2 + 3^2) = √(16 + 9) = √25 = 5

BC = √((-1 - (-1))^2 + (2 - (-1))^2) = √(0^2 + 3^2) = √9 = 3

CD = √((-5 - (-1))^2 + (4 - 2)^2) = √(4^2 + 2^2) = √(16 + 4) = √20 = 2√5

AD = √((-5 - (-5))^2 + (4 - (-4))^2) = √(0^2 + 8^2) = √64 = 8

Далее, найдем площадь четырехугольника ABCD, используя формулу площади четырехугольника по диагоналям:

S = 1/4 √(4 AB^2 * CD^2 - (AD^2 + BC^2 - AC^2)^2)

где AC^2 = AB^2 + BC^2

AC = √(5^2 + 3^2) = √(25 + 9) = √34

Теперь можем рассчитать площадь:

S = 1/4 √(4 5^2 (2√5)^2 - (8^2 + 3^2 - √34^2)^2)
S = 1/4 √(4 25 20 - (64 + 9 - 34)^2)
S = 1/4 √(4 500 - 1^2)
S = 1/4 √2000
S = 1/4 20√5
S = 5√5

Таким образом, площадь четырехугольника ABCD равна 5√5.