Так как угол A=30 градусов, то угол B=60 градусов, так как сумма углов в треугольнике равна 180 градусов.

Поскольку угол C=90 градусов, треугольник ABC является прямоугольным.

Так как CH - высота, то треугольник CHB также является прямоугольным.

Теперь мы можем воспользоваться тригонометрическими соотношениями для прямоугольных треугольников.

По теореме синусов в прямоугольном треугольнике:
sin B = BH / CH

sin 60 = BH / CH
√3 / 2 = BH / CH
CH = BH * 2 / √3

Так как AB = 54, то по теореме Пифагора для треугольника ABC:
AC^2 = AB^2 + BC^2
BC = √AC^2 - AB^2
BC = √(CH^2 + BH^2) - AB
BC = √((BH * 2 / √3)^2 + BH^2) - AB
BC = √(4BH^2 / 3 + BH^2) - 54
BC = √(7BH^2 / 3) - 54

Так как BC = BH / tan 60, то
BH / tan 60 = √(7BH^2 / 3) - 54
BH = 54tan60 / (1 + √7/3) ≈ 46.15

Итак, BH ≈ 46.15.