Для решения этой задачи нам необходимо использовать свойство прямоугольной трапеции, которое гласит: если боковые стороны трапеции прилежат к основаниям под прямым углом, то эта трапеция прямоугольная.

Так как угол между боковой стороной и основанием равен 30 градусам, то у нас имеется прямоугольная трапеция. Мы можем найти высоту трапеции, используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного основанием и высотой трапеции.

Сначала найдем длину половины средней линии трапеции:

(ML = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} 10 = 5) см.

Теперь можем найти высоту трапеции:

(h = \sqrt{AB^2 - ML^2} = \sqrt{8^2 - 5^2} = \sqrt{64 - 25} = \sqrt{39} \approx 6.25) см.

Теперь, зная высоту и одно из оснований трапеции, найдем второе основание:

(BC = 2 \sqrt{39} = 2 6.25 = 12.5) см.

Таким образом, меньшая боковая сторона трапеции равна 12.5 см.