Для начала найдем высоту, опущенную из вершины трапеции на основание. По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике можно найти длину этой высоты:

$$h = \sqrt{10^2 - 3^2} = \sqrt{100 - 9} = \sqrt{91}.$$

Теперь мы можем найти меньшее основание трапеции, используя теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике, образованном высотой, половиной большего основания и отрезком меньшего основания, проведенным параллельно большему основанию:

$$x = \sqrt{h^2 + (20 - x)^2}.$$

Раскроем скобки:

$$x^2 = h^2 + 400 - 40x + x^2.$$

Упростим уравнение:

$$40x = 400,$$

$$x = \frac{400}{40} = 10.$$

Таким образом, меньшее основание трапеции равно 10.