Поскольку треугольник ABC равнобедренный, то углы при основании равны между собой: ∠C = ∠A. Поскольку отношение углов B и C равно 1:2, получаем, что ∠B = x, ∠C = 2x.

Теперь рассмотрим треугольник АКС, где ∠KAC = ∠C = 2x. Поскольку биссектриса делит угол на две равные части, то ∠KAS = ∠KAC / 2 = x.

Таким образом, в прямоугольном треугольнике АКS,гипотенуза AK делит прямой угол ∠KAC на две части. Следовательно, угол между биссектрисой AK и стороной AC равен x + x = 2x.

Итак, угол между биссектрисой AK и стороной AC равен 2x, что соответствует удвоенному углу С: 2 * 2x = 4x.

Ответ: 4x