Для доказательства данной формулы воспользуемся схемой, представленной на рисунке:

[insert image]

Пусть ABCD - квадрат, R - радиус вписанной окружности, M - точка касания вписанной окружности с AB.

Так как AM является радиусом окружности, то AM = r.

Также, так как AM является высотой треугольника AMB, то AMB - прямоугольный треугольник.

Из теоремы Пифагора для треугольника AMB получаем:

AB^2 = AM^2 + BM^2
AB^2 = r^2 + r^2
AB^2 = 2r^2
AB = sqrt(2r^2)
AB = r * sqrt(2)

Таким образом, длина стороны квадрата, вписанного в окружность, равна r * sqrt(2).

Так как сторона квадрата равна a, то
a = r sqrt(2)
a = 2 r

Таким образом, формула a = 2r доказана.