Для нахождения объема правильной четырехугольной пирамиды воспользуемся формулой:

V = (1/3) S h,

где S - площадь основания, h - высота пирамиды.

Так как в данном случае пирамида правильная, то у нее основание - четырехугольник, который можно разделить диагональным сечением на 4 равных треугольника. Площадь одного такого треугольника равна 0.5 * Q. Опустим высоту пирамиды на один из этих треугольников. Таким образом, мы получаем прямоугольный треугольник с гипотенузой равной стороне основания пирамиды, катетом - половине диагонали, а углом между стороной и основанием 45 градусов.

Из этого треугольника видно, что:
cos(45) = h / (S / 2),
h = (S / 2) * cos(45).

Площадь основания пирамиды равна 4 0.5 Q = 2Q.

Подставим эту формулу в формулу объема:

V = (1/3) 2Q ((2Q / 2) cos(45)),
V = (1/3) 2Q (Q cos(45)),
V = (2/3) Q^2 cos(45).

Таким образом, объем данной пирамиды равен (2/3) Q^2 cos(45).