Полная поверхность конуса состоит из площади основания и площади боковой поверхности.

Площадь основания конуса можно найти по формуле S = πr^2, где r - радиус основания. Поскольку конус имеет объем 320π дм^3, выразим радиус r через высоту и объем:

V = (1/3)πr^2h
320π = (1/3)πr^2 * 15
r^2 = 960
r = √960
r ≈ 31.08 (дм)

Теперь найдем площадь основания:

S = πr^2
S = π * (31.08)^2
S ≈ 3037.08 (дм^2)

Боковая поверхность конуса вычисляется по формуле S = πrs, где s - образующая конуса. Образующую можно найти по теореме Пифагора: s = √(r^2 + h^2)

s = √((31.08)^2 + 15^2)
s ≈ 34.41 (дм)

Теперь найдем боковую поверхность:

S = πrs
S = π 31.08 34.41
S ≈ 3392.49 (дм^2)

Итак, полная поверхность конуса равна сумме площади основания и боковой поверхности:

Sполн = Sосн + Sбок
Sполн ≈ 3037.08 + 3392.49
Sполн ≈ 6429.57 (дм^2)

Полная поверхность конуса составляет приблизительно 6429.57 квадратных дециметров.