Для начала найдем длины сторон треугольника ABC.

Из условия задачи, мы знаем что KM = 8 см и KN = 4 см, а также что угол МКN равен 45 градусов.

Так как треугольник ABC остроугольный, угол МКN - прямой, то есть угол MKC равен 90-45 = 45 градусам.

Теперь мы можем рассмотреть равнобедренный треугольник MKC, так как у него углы 45-45-90 градусов.

Из свойств равнобедренного треугольника, мы можем найти сторону MC:

MC = KMsqrt(2) = 8sqrt(2)

Так как сторона MC также является гипотенузой прямоугольного треугольника ABC, то длина стороны AC равна:

AC = 2MC = 28sqrt(2) = 16sqrt(2)

Далее, найдем сторону BC:

BC = KNsqrt(2) = 4sqrt(2)

Наконец, найдем площадь треугольника ABC через формулу Герона:

SABC = sqrt(p(p-AC)(p-BC)*(p-AB)), где p - полупериметр треугольника

p = (AC+BC+AB)/2

p = (16sqrt(2) + 4sqrt(2) + AB)/2

p = (20*sqrt(2) + AB)/2

AB = 2p - 20sqrt(2) = 20sqrt(2) - 20sqrt(2) = 20*sqrt(2)

SABC = sqrt(10sqrt(2)(10sqrt(2)-16sqrt(2))(10sqrt(2)-4sqrt(2))(10sqrt(2)-20sqrt(2))) = sqrt(10sqrt(2)6sqrt(2)6sqrt(2)4sqrt(2)) = sqrt(10664) = sqrt(1440) = 12*sqrt(10)

Итак, площадь треугольника ABC равна 12*sqrt(10) квадратных сантиметров.