Для нахождения уравнения касательной окружности в точке Т [2,3] нужно найти радиус окружности и центр, а затем использовать эти данные для составления уравнения.
Для начала приведем уравнение окружности к виду (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2, где (a, b) - центр окружности, r - радиус.
x^2 - 2x + y^2 - 2y = 3
(x^2 - 2x + 1) + (y^2 - 2y + 1) = 3 + 1 + 1 (добавляем и вычитаем значения для получения полного квадрата)
(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 5
Очевидно, что центр окружности находится в точке С[1,1], радиус r = sqrt(5).

Зная точку касания касательной к окружности, можно составить уравнение прямой, проходящей через эту точку и центр окружности:
y - 3 = (1 - 3)/(1 - 2)*(x - 2)
y - 3 = -2(x - 2)
y - 3 = -2x + 4
2x + y = 7

Теперь составим уравнение для касательной окружности через точку Т[2, 3]:
(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 5
2x + y = 7

Ответ: (x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 5, 2x + y = 7.